широко распространённые Прямые методы решения главным образом вариационных задач и краевых задач математического анализа (см. Краевые задачи, Вариационное исчисление).

Метод Ритца применяется большей частью для приближённого решения вариационных задач и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным. Пусть задан Функционал V [y (x)] (или более сложный функционал) и требуется найти такую функцию у (х), принимающую в точках x₀ и x_i заданные значения α = у (х₀) и β = у (х₁), на которой функционал V [y (x)] будет достигать Экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала V [y (x)] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у (х), а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида

с постоянными коэффициентами a_i, составленных из n первых функций некоторой выбранной системы φ₁(x), φ₂(х),..., φ_п (х),... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций φ₁(х) является требование, чтобы функции у_п (х) удовлетворяли условиям уп (х_о) = α и y_n (x₁) = α для всех значений параметров a_1. При таком выборе функций у_п (х) функционал V [y (x)] превращается в функцию Ф (а₁, a₂,..., a_n) коэффициентов a_i, последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений

(i=1, 2, ..., n).

Например, пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла

при условии y (0) = y (1) = 0. В качестве функций φ_i (x) можно взять xⁱ (1 - х), тогда

.

Если n = 2, то . Для определения коэффициентов a₁ и a₂ получаем после вычислений два уравнения

;

.

Решением этих уравнений являются числа a₁ = 71/369 и a₂ = ⁷/₄₁. Следовательно, . Полученное приближённое решение отличается от точного на величину порядка 0,001.

Найденное этим методом приближённое решение у_п (х) вариационной задачи при некоторых условиях, касающихся в основном полноты системы функций φ_i (x), стремится к точному решению у (х), когда n → ∞.

Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем (W. Ritz). Теоретическое обоснование метода дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).

Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Основная идея метода Галёркина состоит в следующем. Пусть требуется в некоторой области D найти решение дифференциального уравнения

L [u] = 0 (1)

(L - некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области D однородным краевым условиям:

u = 0. (2)

Если функция u является решением уравнения (1) в области D, то функция L [u] тождественно равна нулю в этой области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность) любой функции в области D. Приближённое решение уравнения (1) ищут в виде

, (3)

где ψ_i (x, y) (i = 1, 2,..., n) - линейно независимые функции, удовлетворяющие краевым условиям (2) и являющиеся первыми n функциями некоторой системы функций ψ₁(x, у), ψ₂(х, у),..., ψ_п (х, у),..., полной в данной области. Постоянные коэффициенты a_i выбирают так, чтобы функция L [u_n] была ортогональна в D первым n функциям системы ψ_i (x, y):

(4)

(i=1, 2, ..., n).

Например, пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона

при условии u = 0 на S. Выбирая систему функций ψ_i (x, y), ищем решение в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов ai имеет вид:

(i=1, 2, ..., n).

Функции ψ_i (x, y) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими соображениями. Пусть ω(x, y) - непрерывная функция, имеющая внутри области D непрерывные частные производные второго порядка и такая, что ω(x, y) > 0 внутри D, ω(x, y) = 0 на S. Тогда в качестве системы функций ψ_i (x, y) можно взять систему, составленную из произведений ω(x, y) на различные степени х и y: , , , , ... Например, если границей области D является окружность S радиуса R с центром в начале координат, то можно положить ω(x, y) = R² - x² - y².

Метод Галёркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального анализа (См. Функциональный анализ) для решения уравнений вида Au - f = 0, где А - линейный оператор, определённый на линеале, плотном в некотором гильбертовом пространстве H, u - искомый и f - заданный элементы пространства H.

Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым, в связи с чем иногда именуется методом Бубнова - Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).

Лит.: Галёркин Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, "Вестник инженеров", 1915, т. 1, № 19, с. 897-908; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. - Л., 1970; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. - М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten", Göttingen, 1908; его же, Über еще neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, "Journal für die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.

В. Г. Карманов.

в аналитической химии, совокупность операций, применяемых с целью обнаружения и количественного определения какого-либо элемента (вещества) в сложном по составу анализируемом материале. Р. м. необходимы, поскольку большинство аналитических методов недостаточно избирательны. При разделении ионов элементов используют групповые реагенты, позволяющие упростить трудноразрешимую задачу анализа сложных смесей. Для разделения применяют осаждение (см. Осаждения способ), экстракцию (См. Экстракция), хроматографию (См. Хроматография), дистилляцию (См. Дистилляция), а также др. способы.

буквально учение о свойствах сыворотки крови; обычно под С. понимают раздел иммунологии, изучающий взаимодействие антител (См. Антитела) сыворотки с антигенами (См. Антигены). Серологические реакции могут быть прямыми (двухкомпонентными) - Агглютинация, пассивная Гемагглютинация, Преципитация и др., и косвенными (трёхкомпонентными) - реакция нейтрализации (например, микроба), реакция торможения гемагглютинации. Из нескольких "простых" складываются сложные серологические реакции: Бактериолиз, реакция связывания комплемента и др. Распространены также иммунофлюоресцентные методы, основанные на окраске антител (антигенов) флюорохромами. Особый вид серологических реакций - выявление иммобилизации подвижных форм микроорганизмов (например, реакция иммобилизации бледных трепонем при сифилисе). Некоторые серологические исследования проводят не в пробирке, а непосредственно в организме экспериментальных животных (вводят им иммунную сыворотку в серийных разведениях и летальную дозу микробов).

Серологические реакции применяют в научных и диагностических (см. Серодиагностика) целях в инфекционной и неинфекционной иммунологии: их используют, например, при переливании крови, для определения групп крови, установления видовой и индивидуальной специфичности белков. Серологические исследования применяют также в эпидемиологии и эпизоотологии для выявления источника инфекции, путей её передачи, Иммунитета у людей и животных, эффективности вакцинации и т. п. Реакция между антигенами и антителами лежит в основе серопрофилактики (См. Серопрофилактика) и серотерапии (См. Серотерапия). Среди основных задач С. - разработка методов получения высокоспецифических диагностических и лечебных сывороток, оценка их активности и выяснение механизма действия. См. Иммунология.

Лит..: Резникова Л. С., Эпштейн-Литвак Р. В., Леви М. И., Серологические методы исследования при диагностике инфекционных болезней, М., 1962; Handbook of experimental immunology, Oxf., 1967.

В. И. Покровский, В. А. Годованный.

наука, изучающая физико-химические реакции сыворотки крови животных или человека. (Сывороткой называют жидкую часть крови, не содержащую клеток и фибриногена - белка, участвующего в свертывании крови.) Предметом серологии служат обычно реакции между антигенами и антителами. Антигенами называют вещества, которые воспринимаются организмом как чужеродные: обычно это высокомолекулярные соединения, сложные белки. Инъекции чужеродных белков (инокуляции) в организм человека или животного вызывают образование специфических антител. Антитела представляют собой модифицированные молекулы глобулинов; они появляются в крови инокулированных животных во время или после серии инокуляций.

Все бактерии и все вирусы имеют в своем составе те или иные антигены. Бактерии и вирусы, размножающиеся в теле животного и вызывающие заболевания, вызывают и образование антител, которые могут быть идентифицированы в сывороке крови больного на основе реакций с известными антигенами, что дает возможность распознать болезнь, т.е. поставить диагноз. И наоборот, использование известных антител часто позволяет идентифицировать неизвестные бактерии или вирусы. См. также БАКТЕРИИ
; ИММУНИТЕТ
.

СЕРОЛ'ОГИЯ [сэ], серологии, мн. нет, ·жен. (от ·лат. serum - сыворотка и ·греч. logos - учение) (физиол.). Наука, изучающая свойство серума, сыворотки крови или лимфы.